Relaciones y Funciones
Relación: Regla de asociación o correspondencia entre dos conjuntos.
Función: Una función de f de un conjunto X rn un conjunto Y es una relacioón entre éstos que cumple con la condición de que cada elemento de X está relacionado con uno y solamente uno de los elementos de Y.
Para saber si es una función o relación podemos trazar líneas verticales y estas líneas solo deben tocar una vez a la gráfica, con esto se sabrá que es una función; si toca más de una vez será realación.
FORMAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN
Como expresión matemática: ecuaciones de la forma y = f(x), que permiten representar el comportamiento de la función a lo largo de todo su dominio.
Ejemplo: y=x+2.
Como tabulación: tabla que permite representar algunos valores discretos de la función.
Ejemplo: X -2 -1 0 1 2 3
Y 0 1 2 3 4 5
Como pares ordenados: pares ordenados, muy usados en teoría de grafos.
Ejemplo: A={(-2, 0),(-1, 1),(0, 2),(1, 3), ... (x, x+2)}
Como proposición: una descripción por comprensión de lo que hace la función.
Ejemplo: "Para todo x, número entero, y vale x más dos unidades".
Como gráfica: gráfica que permite visualizar tendencias en la función. Muy utilizada para las funciones continuas típicas del cálculo, aunque también las hay para funciones discretas.
DOMINIO,CODOMINIO Y RANGO
El dominio es el intervalo de valores que están sobre el eje de las X´s y que nos generan una asociación en el eje de las Y´s.
El otro conjunto que interviene en la definición es el conjunto llamado codominio o rango de la función, en ocasiones llamado imagen, este conjunto es la gama de valores que puede tomar la función; en el caso del plano son todos los valores que puede tomar la función o valores en el eje de las Y´s.
CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES
Se pueden clasificar de acuerdo a su forma en:
a.-Algebraicas y trascendentales
Las algebraicas son todas las funciones compuestas por la suma o resta de terminos algebraicos, generalmente son monomios, binomios o trinomios. pueden ser polinomiales o racionales.
Las trascendentales pueden ser de tres tipos:
I)Logarítmicas
II)Exponenciales
III)Trigonometricas
b.-Continuas y discontinuas
Se clasifican según sus gráficas, si la gráfica tiene algún corte o salto es discontinua y si es continua la gráfica será continua.
c.-Crecientes y decrecientes
Para saber si una función es creciente o decreciente basta con colocar tu dedo índice derecho sobre la gráfica y moverlo de izquierda a derecha si el dedo se va hacia arriba entonces es creciente y si sucede lo contrario será decreciente.
d.-Inyectiva,sobre y biyectiva
Es inyectiva si y solo si a elementos distintos de A les corresponden imagenes distintas en B. Ningún elemento de A tiene la misma imagen.
Será sobreyectiva si todos los elementos de B estan asociados con por lo menos uno de A. Y finalmente es biyectiva cuando es inyectiva y sobreyectiva a la vez.
FUNCIONES ESPECIALES
Son especiales por su comportamiento gráfico
1.-Constante
Relaciona a todos los elementos del domino con un solo elemento del codomino.
2.-Identidad
Relaciona a cada elemento del domino con su igual en el codominio.
3.-Valor absoluto
Asocia a cada número real con su valor absoluto, es decir, asocia a cada número con su valor sin signo. La regla de asociación es:
x, si x > 0
f(x) =
-x, si x <>
TRASLACIÓN DE FUNCIONES
a.-Traslacion horizontal
Si tenemos f(x), entonces f(x+a) traslada la gráfica a unidades hacia la izquierda.
Si tenemos f(x), entonces f(x-a) traslada la gráfica a unidades hacia la derecha.
b.-Traslación vertical
Si tenemos f(x) , entonces f(x)+a traslada la gráfica a unidades hacia arriba.
Si tenemos f(x) , entonces f(x)-a traslada la gráfica a unidades hacia abajo.