Apunte de Matermaticas

Propiedades de los Numeros Reales

CLASIFICACION DE LOS NUMEROS REALES

Definicion de los Numeros Reales

Números Reales

Definición
Número real, cualquier número racional o irracional. Los números reales pueden expresarse en forma decimal mediante un número entero, un decimal exacto, un decimal periódico o un decimal con infinitas cifras no periódicas.

El conjunto de los números reales
Número Naturales (N): números con los que contamos (también se les llama enteros positivos. )
Enteros (E): conjunto de todos los números naturales con sus opuestos (negativos) y el cero. .
Racionales: conjunto formado por todos los números que se pueden escribir en la forma , donde m y n son enteros .
Número Reales (R): todos los racionales y los irracionales. Los números racionales tienen representaciones decimales repetitivas (periódicas), en tanto que los irracionales tienen representaciones no repetitivas infinitas.

Representación geométrica
Se pueden representar sobre una recta del siguiente modo: a uno de los puntos de la recta se le asocia el cero, 0. Se toma hacia la derecha otro punto al que se asocia el 1. La distancia del 0 al 1 se denomina segmento unidad y con ella se representan todos los números enteros.





Los restantes números reales (racionales o irracionales) se sitúan sobre la recta, bien valiéndose de construcciones geométricas exactas, bien mediante aproximaciones decimales. Es importante el hecho de que a cada punto de la recta le corresponde un número real y que cada número real tiene su lugar en la recta (correspondencia biunívoca). Por eso a la recta graduada de tal manera se la denomina recta real.

HISTORIA DE LOS NUMEROS REALES

Historia de los Números Reales.

En la era primitiva, a causa de la necesidad de representar cantidades y asi resolver los problemas que se representan en nuestro alrededor.Diversas culturas representan la noción de cantidad según su desarrollo lo permitía. Fruto de esta diversidad nacen las notaciones de cantidad como la romana, babilónica, griega, etc. Se sabe que los babilonios utilizaron simples enteros positivos para tratar de contar unas pocas ovejas, mientras que hoy en día los enteros positivos no satisfacen el complejo mundo de lasmatemáticas.Desde luego el significado que cada grupo social asigna a un determinado conocimiento o idea, implica mucho en su visión de vida. Por ejemplo los pitagóricos tenían una explicación de la realidad basada en los números. Filolao, filósofo pitagórico, resume perfectamente el papel tanimportante que se le otorgaba:“El número reside en todo lo que es conocido. Sin él es imposible pensar nada ni conocer nada.”La facultad de contar está implícita en la aparición del número. Se mencionóque el hombre hacía marcas, aunque a veces los seguimos haciendo, pararepresentar ciertas cantidades, pues esta actividad, que perdura desdetiempos inmemoriales, se formalizó en cada cultura con el número.El hombre advirtió que todos los conjuntos de objetos o de seres tienen unacualidad en común, con independencia de la naturaleza de los objetos o delos seres que lo componen. La cualidad se denomina número. Un ejemplopráctico reside en que el hombre al realizar tantas marcas, juntar tantaspiedras, hacer tantos nudos deduce racionalmente, según la contabilidad decada objeto, que dichas contabilidades conllevan a “representaciones”, queno depende de qué estuviese contando, sino más bien del número de marcas,de piedras, de nudos, etc. Entonces se estableció un símbolo para cadacontabilidad respectiva.De ahí que la notación que utilizamos hoy en día, que en general, fuerontraídos de la India a Europa, por los árabes en el siglo X.Las siguientes imágenes son ejemplos de representaciones de números:Los números han pasado por un largo proceso de evolución, por ejemplo el grupo griego liderado por Pitágoras se dieron cuenta de la necesidad de los números irracionales.Los Números negativos fueron inventados por matemáticos indios cerca del 600.Con todo esto el estudio de los números para su construcción y sistematización en el siglo XIX fue logrado con la teoría de conjuntos de Georg Cantor( encanjamientos sucesivos) y el análisis matemático de Richard Dedekind, todo esto siendo resultado de las aportaciones por matemáticos como Descartes, Newton, etc.